Про теорию игр / Обо всем

Теория игр — это математическая теория стратегий, которая предполагает, что есть минимум два игрока и результат игры определяется их выбором. Если среди игроков есть конфликт предпочтений, этот конфликт не обязательно должен быть тотальным.

КРАЙНЕ рекомендую сначала посмотреть ВТОРУЮ часть :) - она более проста для понимания, да и просто ЗАНИМАТЕЛЬНЕЕ!

В отличие от спортивных игр, если один игрок выигрывает, то другой не обязательно оказывается проигравшим. Конфликт интересов может быть частичным, и оба игрока могут выигрывать и проигрывать одновременно. Теория игр фокусируется на равновесных стратегиях игроков.

История исследований

Теорию игр придумали венгерский математик Джон фон Нейман и немецкий экономист Оскар Моргенштерн, которые в конце 1930-х годов переехали в США. Они встретились в Институте перспективных исследований Принстонского университета в 1940-х годах и написали книгу «Теория игр и экономическое поведение» (1944). Книга была переиздана в 1947 и в 1953 годах.

До этого, в 1928 году, Джон фон Нейман написал статью, в которой вывел теорему о минимаксе, считающуюся фундаментальной в теории игр. В Принстоне он работал с Моргенштерном над тем, чтобы применить теорию игр к экономике, а также к салонным играм вроде покера.

В своей книге фон Нейман и Моргенштерн смоделировали упрощенную версию покера и проанализировали оптимальные стратегии, которые выбирают игроки. Но спустя годы многие люди нашли их идеи полезными для экономики, биологии и в особенности для политологии. Более того, теория игр стала применяться в спорте и даже в таких дисциплинах, как философия. Теория игр предлагает структуру принятия решений и в условиях конфликта, и в условиях сотрудничества для игр, в которых два игрока или более.

Другие ученые также внесли немалый вклад в развитие теории игр. Среди них — Джон Нэш, который знаменит благодаря равновесию Нэша, и несколько математиков и экономистов, которые в разное время получили Нобелевскую премию по экономике за свои труды.

Игра в теории игр

Игра — это ситуация, в которой есть взаимозависимость между участниками или игроками. Если есть два игрока, то, что вы делаете, зависит от того, что делает другой игрок, а то, что делает другой игрок, зависит от того, что делаете вы. И результат зависит от выбора обоих игроков. Но в игре может быть больше двух игроков. В таком случае игроки чаще всего объединяются в коалиции.

Выбор стратегии

Люди выбирают стратегии, основываясь на результате. Один игрок выбирает стратегию, которая, по его мнению, для него выгодна, и другой делает то же самое. И никто из игроков не выиграет, если отступит от своей стратегии. Это называется «равновесный исход».

Это один из видов принятия решений в играх. Но теория игр — это история не только о выборе оптимальных стратегий, но также об оценке выгоды. Выгодой могут быть деньги, но, кроме того, она должна включать другие вещи, которых могут желать игроки. Вопрос в том, как распределить выгоду. Вопрос о справедливости часто поднимается в теории игр. Какое распределение благ справедливо по отношению ко всем игрокам? Как правило, это компромисс, в котором оба игрока удовлетворены исходом. Эта часть теории игр называется «кооперативная игра». В некооперативной игре игроки просто выбирают хорошие и плохие стратегии.

Джон Нэш обозначил это различие между двумя разными подходами в своих ранних статьях в 1950-х годах. Он внес фундаментальный вклад в развитие теории. Во второй половине ХХ века также сильно развивалась некооперативная теория игр, в которой игроки ищут оптимальные стабильные стратегии, ведущие к равновесному исходу. Но кооперативная теория игр также очень интересна, особенно для философов, которые изучают вопросы справедливости результата.

Равновесие Нэша и дилемма заключенного

Равновесие Нэша определяется как исход, в котором есть два игрока, и ни один из игроков не отказывается от своей стратегии, потому что иначе он пострадает. Но это не означает обязательное наличие выгодного исхода для обоих игроков. Есть знаменитая игра, которая называется «Дилемма заключенного». В этой игре два игрока выбирают оптимальные стратегии, но результат получается не совсем выгодным для обоих. Есть более выгодный исход для обоих игроков, но этот исход нестабилен, и он не находится в равновесии Нэша. Появляется конфликт между выбором оптимальной стратегии и получением наилучшего результата.

История о дилемме заключенного следующая. Два преступника находятся в раздельных камерах. Каждого спрашивают, виновен ли он в определенном преступлении. Если оба признают, что виновны, каждый получит относительно тяжелое наказание — скажем, пять лет тюремного заключения. Но если оба откажутся признать вину, то получат относительно хороший результат — например, один год тюремного заключения. Но если один заключенный признает вину, а другой не признает, то результат будет очень печальным для того, кто признал вину, — десять лет в тюрьме. Его признают виновным, а второй преступник выйдет на свободу за то, что помог определить настоящего виновного.

Оба заключенных получают относительную выгоду (кооперативный исход — 1 год в тюрьме), если никто не сознается. Но у каждого есть соблазн предать другого заключенного. Если один признается, а другой нет, тот, что признался, избежит наказания, в то время как второй получит 10 лет лишения свободы. Но если оба признаются, то им тоже будет плохо (некооперативная игра — 5 лет лишения свободы). Это и называется дилеммой. Непонятно, что должны делать заключенные: должны ли они выбрать некооперативную игру и сознаться или они должны попытать удачу и не признаваться, сильно рискуя?

Кажется, что самое разумное решение для игроков — сотрудничество. Но это нестабильный исход, потому что у каждого игрока есть стимул не сотрудничать, а, наоборот, предать другого игрока. Хороший пример такой дилеммы — гонка вооружений между Советским Союзом и США в 1950–1990-х годах. В течение 45 лет две страны вели некооперативную игру, тратили много денег на вооружение, чтобы обойти другую сторону. Обе страны выиграли бы от того, чтобы не тратить столько средств на вооружение, а потратить их на социально полезные блага. Но каждая страна не доверяла другой, поэтому обе стороны продолжали производить оружие, и никто от этого не выигрывал.

Справедливый дележ

Мы знаем, что переговоры часто бывают сложными. Мы всегда ищем пути, которые позволят обеим сторонам достичь кооперативного исхода, несмотря на то что игра может порой напоминать дилемму заключенного. Один из способов — попытаться определить, какие вопросы разделяют игроков, и использовать процедуру распределения справедливости, чтобы определить, кто в каких вопросах выиграет. Нужно сделать так, чтобы каждый выиграл в том вопросе, который наиболее важен именно для него.

Теория игр в повседневной жизни

Беспроигрышные решения могут применяться в повседневной жизни. Например, Алан Тейлор и я в нашей книге «Делим по справедливости, или Гарантия выигрыша каждому» (“The Win-Win Solution: Guaranteeing Fair Shares to Everybody”) рассматривали развод Дональда Трампа и его первой жены, Иваны. Мы показали, что каждый супруг мог получить свою выгоду, если бы они пришли к соглашению, по которому каждый бы получил именно то, чего желал больше всего.

Например, Ивана больше всего хотела получить дом в Коннектикуте, где выросли ее дети, а Дональд хотел оставить особняк во Флориде. Мы показали, как они могли бы поделить имущество, особенно недвижимость, чтобы каждый остался доволен. Фактически они так и поступили. Но во многих случаях участники не могут прийти к соглашению, потому что игроки не могут прийти к такой процедуре.

Это процедура, которая помогает разрешать конфликты. Мы часто видим, что конфликты так и остаются конфликтами, потому что каждая сторона противится сотрудничеству. Поэтому люди не могут прийти к соглашению. Разводы бывают очень тяжелыми — не только в плане финансовой дороговизны и денег, которые нужно платить юристам, то также в смысле эмоционального истощения. Это ситуации, в которых может помочь теория игр.

Логично использовать подобную процедуру, но многие люди о ней просто не знают. Они борются друг с другом, хотя могут найти компромисс, который всех устроит. Они переживают, что, если не будут бороться, они проиграют, потому что другой игрок будет вести нечестную игру. Поэтому им кажется, что они тоже не должны идти на компромисс, чтобы создать баланс. Но мы знаем, что есть ситуации, в которых оба игрока могут прийти к компромиссу и в итоге к относительному выигрышу. Эмоции также играют важную роль, потому что стороны начинают злиться друг на друга, а это мешает размышлять логически.

Мы интуитивно используем теорию игр каждый день. Например, когда у человека есть проблема в отношениях с другом, подругой или супругом, он или она думает о хороших и плохих стратегиях для выигрыша в споре. Хотя никто не делает подсчетов, к которым прибегают теоретики игр, люди приходят к ним интуитивно. Но они часто делают ошибки. Теория игр может помочь думать более ясно и брать в расчет предпочтения противника так же, как и свои.

Теория игр и политика

Конфликты между США и Россией, США и Китаем, Китаем и Россией довольно типичны. У этих стран есть ряд вопросов, по которым они конфликтуют: территории, торговля, альянсы. Теория игр может помочь им достичь компромисса, к которому сложно прийти, если использовать неформальные переговоры.

Теория голосования, которая также называется теорией коллективного выбора, может помочь в выборе лучшего способа избрания лидера. В демократических странах кандидаты часто выигрывают, получая большинство голосов. Но, например, на президентских выборах 2016 года в США ни один из кандидатов от двух ведущих партий — Дональд Трамп и Хиллари Клинтон — не получил большинства голосов, потому что были также кандидаты от третьей и четвертой партии, которые тоже получили голоса. Но есть процедуры голосования, при которых люди могут полнее выразить свой выбор и не ограничиваться одним голосом. Например, при одобрительном голосовании избиратель может голосовать за более чем одного кандидата, если в гонке участвуют больше двух кандидатов.

Победитель, который избирается посредством одобрительного голосования, лучше отражает предпочтения избирателей. Например, на выборах 2016 года в США Хиллари Клинтон победила в предварительном голосовании, получив более двух миллионов голосов, но проиграла в голосовании коллегии выборщиков, которое и определяет итог выборов. Но даже если не брать в расчет коллегию выборщиков, мы часто наблюдаем, как наиболее популярные кандидаты, которые находятся в центре голосования, делят между собой голоса, а в итоге выигрывает тот, что получил большинство. Одобрительное голосование идет вразрез с этим, потому что избиратели могут одобрить не только одного кандидата. Таким образом, можно выбрать кандидата, который устраивает всех, а не того, кто просто набрал наибольшее число голосов.

Не нужно быть теоретиком игр, чтобы применять некоторые из принципов этой теории. Например, Генри Киссинджер, который был государственным секретарем при администрации Никсона, никогда не изучал теорию игр, но умел находить оптимальные решения. Понимание теории игр может быть полезным при анализе ситуаций, в которых результат зависит от выбора и взаимодействия двух человек или более.

Открытые вопросы

Вопросы относительно теории игр все время возникают в таких областях, как экономика, политика, биология. Но очень часто нужно расширение стандартной теории. Например, в 1970-х годах в биологии было предложено новое понимание равновесия, которое называют эволюционно стабильной стратегией. Эта стратегия кажется более применимой для анализа конфликтов между особями, чем равновесие Нэша. Теория игр — это история о том, как по-настоящему осмыслить проблемы и попытаться найти новые решения для них. Основы теории игр лежат в математике, но новые идеи, которые появляются из ее применения, способствуют ее росту и развитию.

1. Игра в свидания

В каждой ситуации мы придерживаемся определённой стратегии. Обычно это происходит бессознательно, отсюда и частые ошибки. Избежать их можно, если научиться угадывать действия другого человека.

Взять, к примеру, свидания. Мы все выбираем одну главную стратегию: пытаемся скрыть отрицательные черты характера и показать положительные.

Пока не буду рассказывать, что каждый вечер люблю полежать с пивком на диване. Расскажу, когда она узнает меня поближе и поймёт, что в остальном я в порядке.

Павел, диванный эксперт

Такая стратегия — это, скорее, не ложь, а умалчивание.

Пример

Представьте ситуацию: мужчина и женщина встречаются несколько месяцев и однажды решают съехаться. У мужчины квартира небольшая, поэтому логично, что речь идёт о переезде в квартиру женщины.

Надо сказать, что мужчина работает экономистом. Он проанализировал ситуацию и понял, что отказываться от аренды квартиры пока невыгодно. Сейчас он платит небольшие деньги и в случае разрыва отношений не найдёт такой же хороший вариант. Женщина, узнав об этом, немедленно бросает кавалера.

В чём ошиблась эта пара? Мужчина, верно просчитав ситуацию с экономической точки зрения, не учёл психологического фактора. Жест с квартирой женщина восприняла как несерьёзность намерений. Но она не подумала о том, что её ухажёр — экономист, стало быть, принимает решения в первую очередь с позиции «выгодно — невыгодно». Таким образом, эта игра была проиграна обоими участниками.

Что делать

Просчитывайте не только свои действия, но и реакцию других людей. Почаще спрашивайте себя: а как можно интерпретировать мой поступок? Совет специально для мужчин: объясняйте свои действия и помните, что любая недоговорённость — повод для вашей второй половины пофантазировать. Стратегическое мышление — это не только математика, но и психология!

2. Игра на 90 баллов

Загадки, квесты, тесты на интеллект и логику перестанут быть проблемой после изучения теории игр. Вы научитесь искать все существующие варианты ответов и выбирать среди них наиболее подходящий.

Пример

Два студента попросили профессора отсрочить экзамен. Они рассказали душещипательную историю о том, как поехали на выходные в другой город, но на обратной дороге у них спустило шину. Помощь пришлось искать всю ночь, поэтому они не выспались и плохо себя чувствуют. (На самом деле друзья отмечали окончание сессии, а этот экзамен был заключительным и не самым тяжёлым.)

Профессор согласился. На следующий день он рассадил студентов в разные аудитории и раздал по листку, где было лишь два вопроса. Первый стоил всего 10 баллов, а второй — 90 и звучал так: «Какое колесо спустило?»

Если опираться на логику, то ответ будет «Правое переднее колесо»: именно справа, ближе к обочине чаще всего валяется всякий мусор, на который в первую очередь наезжает передняя шина. Но не спешите.

В этой ситуации важно дать не столько правильный (логичный) ответ, сколько ответ, который будет написан на бумажке друга.

Поэтому очевидно, что оба студента будут строить догадки исходя из предположения, как думает другой.

Можно рассуждать так: есть ли у студентов что-то «общее» с одним из колёс? Возможно, год назад им вместе приходилось уже менять какое-то колесо. Или одна шина измазана краской, и оба студента знают об этом. Если такой момент будет найден, именно этот вариант и стоит выбрать. Даже если другой студент не знаком с теорией игр, он может вспомнить этот случай и указать нужное колесо.

Что делать

В рассуждениях опирайтесь не только на логику, но и на жизненные обстоятельства. Помните: не всё то, что логично для вас, так же логично и для другого. Чаще привлекайте друзей и родственников к играм на мышление. Это позволит понять, как думают близкие вам люди, и в дальнейшем избежать сложных ситуаций, как в примере выше.

3. Игра с собой

Знания о стратегических играх помогают глубже анализировать собственные решения.

Пример

Некая Ольга решает, пробовать ей курить или нет.

Дерево игры

На рисунке представлено так называемое дерево игры: его полезно рисовать каждый раз, когда вам нужно принять какое-либо решение. Ветви этого дерева — варианты развития событий. Цифры (0, 1 и -1) — выигрыш, то есть будет ли игрок победителем, если изберёт тот или иной вариант.

Итак, с чего начинать. Вначале надо определить, какое решение будет лучшим и худшим. Предположим, что самое предпочтительное развитие событий для Ольги — попробовать курить, но не продолжать этого делать. Присвоим этому варианту выигрыш 1 (первая цифра левой нижней ветки). В худшем случае девушка станет зависимой от курения: присваиваем этому варианту выигрыш -1 (первая цифра правой нижней ветки). Таким образом, ветка дерева с вариантом вообще не пробовать курить получает 0.

Предположим, что Ольга решила попробовать курить. Что дальше? Бросит она или нет? Это уже будет решать Будущая Ольга, на рисунке она вступает в игру по ветке «Попробовать». Если у неё уже сформировалась зависимость, то бросать курить она не захочет, поэтому варианту «Продолжать» ставим выигрыш 1 (вторая цифра правой нижней ветки).

Что мы получаем? Нынешняя Ольга будет в выигрыше в том случае, если попробует курить, но не попадёт в зависимость. А это, в свою очередь, зависит от Будущей Ольги, для которой выгоднее курить (она уже курит довольно давно, значит, у неё есть зависимость, стало быть, бросать она не захочет). Так стоит ли так рисковать? Может, сыграть вничью: получить выигрыш 0 и вообще не пробовать курить?

Что делать

Просчитывать стратегию можно не только в игре с кем-то, но и в игре с самим собой. Попробуйте нарисовать дерево игры, и вы увидите, приведёт ли ваше нынешнее решение к выигрышу.

4. Игра в аукцион

Есть разные типы аукционов. Например, в фильме «Двенадцать стульев» проходил так называемый английский аукцион. Его схема проста: побеждает тот, кто предлагает наибольшую сумму за выставленный лот. Обычно устанавливается минимальный шаг для поднятия цены, в остальном ограничений нет.

Пример

В эпизоде с аукционом из «Двенадцати стульев» Остап Бендер допустил стратегическую ошибку. Вслед за предложением в 145 рублей за лот он поднял цену сразу до двухсот.

С точки зрения теории игр Остапу следовало повышать ставку, но минимально до тех пор, пока не останется конкурентов. Таким образом, он смог бы сэкономить деньги и не попасть впросак: Остапу не хватило 30 рублей, чтобы оплатить комиссионный сбор.

Что делать

Есть игры, такие как аукцион, в которые нужно играть только головой. Заранее определитесь с тактикой и подумайте о максимальной сумме, которую вы готовы отдать за лот. Дайте себе слово не превышать лимит. Этот шаг поможет справиться с азартом, если он вдруг вас настигнет.

5. Игра на обезличенном рынке

Обезличенный рынок — это банки, страховые компании, подрядчики, консульства. В общем, те участники игры, у которых нет имён и фамилий. Они обезличены, но при этом ошибочно полагать, что правила теории игр к ним неприменимы.

Пример

Максим обращается в банк в надежде получить кредит. Его кредитная история не идеальна: два года назад он шесть месяцев отказывался гасить другой заём. Сотрудник, который принимает документы, говорит, что, скорее всего, Максим кредит не получит.

Тогда Максим просит разрешения донести документы. Он приносит выписку из больницы, подтверждающую, что его отец в те полгода был серьёзно болен. Максим пишет заявление, где указывает причины задержки выплаты предыдущего заёма (деньги нужны были на лечение отца). И через некоторое время получает новый кредит.

Что делать

Когда вы ведёте дела с обезличенными игроками, всегда помните, что за ними скрываются личности. Придумывайте, как втянуть соперников в игру, и устанавливайте свои правила.

Основные виды стратегий в теории игр

Каждая игра предполагает использование стратегии. При этом «игрой «может быть интеллектуальная или азартная игра с целью развлечения, либо торговля на бирже, или даже жизненная ситуация. А вот стратегии в большинстве случаев остаются неизменными. И по этой причине их полезно знать.

Такая стратегия позволяет вам выиграть независимо от действий противника. Например, когда два высоких игрока перебрасывают друг другу мяч на большой высоте, у низкого игрока нет шанса его поймать. Доминирующая стратегия также может быть выбрана, если один из игроков изначально имеет больше возможностей (знание тонких особенностей игры или шулерство) или обладает закрытой для других информацией (инсайдерская торговля).

Однако в большинстве игр работающей всегда доминирующей стратегии не бывает, иначе они были бы неинтересны. Другое дело, что такая стратегия может появиться в конкретной партии или ситуации. И тогда важно не упустить её, чтобы применить себе на пользу.

В жизни мы часто видим «игры», которые не предполагают чёткого подхода «выигрыш-проигрыш». Например, вы хотите пойти на футбол, а ваш друг – в театр. При этом каждый хочет отправиться на своё в компании, а не в одиночестве, чтобы получить максимальное удовольствие.

В такой ситуации наиболее выигрышным будет поочерёдная уступка, в результате чего каждый добьётся своей цели: посмотрит любимое мероприятие в компании друга (+2). Менее выигрышным вариантом будет отправиться в одиночестве (+1) или остаться дома (0).

Стратегия компромиссов широко применима и в биржевой торговле. Например: я хочу получить 100 долларов (+2), но при этом опасаюсь потерять свои деньги, если цена развернётся раньше (0). Поэтому я выбираю прибыль 40 долларов (+1).

В некоторых играх единственным вариантом для того, чтобы побеждать чаще, является использование случайной стратегии. Пример: камень-ножницы-бумага, или орлянка. Если вы постоянно выбираете что-то одно (камень или решку), у противника появляется возможность использовать доминирующую стратегию. Чем более вы спонтанны, тем труднее у вас выиграть.

Непредсказуемое поведение может разрушить планы оппонентов как в игре, так и в жизненных ситуациях. Но нужно всегда помнить, что оно не всегда достаточно эффективно. Например, в шахматах, выбирая каждый раз случайный ход из всех имеющихся, вы очень быстро проиграете. Поэтому стоит трезво оценивать ситуацию и стиль «игры», чтобы ваша стратегия была эффективной.