Рамануджан - гений из Индии

Ну это как с тем котом Шредингера: как только открываешь коробку - и кот оказывается либо живым, либо мёртвым.

Здесь же, как только перестаёшь считать, сумма будет бесконечно большой, НО, если не ограничивать себя - получается минус 1/12!

В своём письме к Х. Г. Харди, датированном 27 Февраля 1913, Рамануджан пишет:

Уважаемый Сэр, я с большим удовольствием прочёл ваше письмо от 8 февраля 1913 года.

Я ожидал, что вы ответите мне в том же стиле, что и профессор математики из Лондона, который посоветовал мне внимательно изучить «Бесконечные ряды» Томаса Бромвича и не попадать в ловушку, которую таят расходящиеся ряды. …

Я ответил ему, что, согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12. Узнав это, вы сию же минуту укажете в направлении психиатрической лечебницы. Уверяю, вы не сможете проследить нить рассуждений в моём доказательстве этого факта, если я попытаюсь изложить их в единственном письме.

Оригинальное решение этой (и ряда других) задачи принесло известность, путевку в Лондон и, в конечном итоге, трагически раннюю смерть Сринивасе Рамануджану, математику-самоучке из Индии.

Это какой-то фокус?

Сумма всех целых положительных чисел равна минус одной двенадцатой. 

Это важный научный результат, который находит практическое применение в квантовой физике и теории струн. Еще раз:

S=∑1∞n=−112.S=∑1∞n=-1/12.

Разумеется, в классическом смысле этот ряд — расходящийся, ведь конечного предела у его частичных сумм нет:

limn→∞∑1nn=∞.limn→∞⁡∑1nn=∞.

Но путём нехитрых манипуляций, понятных даже пятикласснику, мы сейчас самостоятельно выведем, что сумма натурального ряда равна −1/12. Это один из двух методов, которыми пользовался сам Рамануджан в письме Харди. Сперва рассмотрим две другие суммы. S1 — сумму ряда, состоящего из 1 и −1. Этот ряд называется рядом Гранди, в честь итальянского математика Луиджи Гвидо Гранди, который первым обнаружил, что ему можно приписать полную сумму, равную 1/2.

S1=1−1+1−1+1−1+…=12S1=1-1+1-1+1-1+…=1/2

и сумму ряда, получаемого умножением ряда Гранди на натуральный ряд:

S2=1−2+3−4+5−6+…S2=1-2+3-4+5-6+…

Для второго ряда S2 рассмотрим удвоенную сумму этого ряда:

2S2=1−2+3−4+5−6+…+ 1−2+3−4+5−6+…2S2=1-2+3-4+5-6+…+ 1-2+3-4+5-6+…

Мы сдвинули вторую копию ряда на одно значение вправо, чтобы лучше была видна идея: складывая второе число первого ряда с первым числом второго, второе — с третьим, и так далее, мы получим, что 2S2 = S1:

2S2= 1+(−2+1)+(3−2)+(−4+3)+(5−4)+(−6+5)…=1−1+1−1+1−1+…=12,2S2= 1+-2+1+3-2+-4+3+5-4+-6+5…=1-1+1-1+1-1+…=12,

откуда получаем, что S2=14.S2=1/4.
Теперь вычтем S2 из суммы натурального ряда S:

S−S2=1+2+3+4+5+6+…−(1−2+3−4+5−6+…)=S-S2=1+2+3+4+5+6+…-1-2+3-4+5-6+…=

(1−1)+(2+2)+(3−3)+(4+4)+(5−5)+(6+6)+…=0+4+0+8+0+12+…1-1+2+2+3-3+4+4+5-5+6+6+…=0+4+0+8+0+12+…

Но ряд S−S2=4+8+12+16+…S-S2=4+8+12+16+… представляет собой умноженный на 4 исходный ряд S! Т.е. мы теперь получаем очень простое уравнение: S − S2 = 4S. Нам уже известно, что S2=14S2=1/4. Отсюда:

S−1/4=4S ⇒3S=−1/4⇒S=−1/12S-1/4=4S ⇒3S=-1/4⇒S=-1/12

Вот так, пользуясь лишь арифметическими операциями из арсенала средней школы, мы показали, что сумма всех натуральных чисел от 1 до бесконечности равняется −1/12.

Как был открыт индийский математик Рамануджан

В самом начале1913 года профессор Кембриджского университета Г.Х. Харди за завтраком увидел среди утренней почты, лежавшей на столе, большой замусоленный конверт с индийским почтовым штемпелем.

Вскрыв его, он обнаружил мятые листы бумаги, исписанные странным, незнакомым почерком и усеянные математическими обозначениями.

Харди взглянул на них без особого интереса. К тому времени он был уже учёным с мировым именем, а знаменитых учёных, как ему пришлось убедиться, довольно часто осаждают письмами разные чудаки. Он уже привык получать рукописи, в которых трактовались то пророческая мудрость Великой пирамиды, то откровения мудрецов Сиона, то способы тайнописи, которыми пользовался Бэкон в пьесах так называемого Шекспира. Итак, Харди со скукой поглядел на эти листки.

Он пробежал письмо, как видно с трудом написанное по-английски и подписанное неизвестным ему индийским именем. В письме обращались к нему с просьбой высказать своё мнение по поводу прилагаемых математических открытий. На беглый взгляд рукопись состояла из теорем, большинство которых казались дикими или фантастическими, а две или три были давно известны, но преподносились так, словно о них говорится впервые. Харди не только скучал, но и испытывал раздражение.

Всё это казалось ему какой-то мистификацией или мошенничеством. Он отложил рукопись в сторону и занялся своими обычными делами. 

Его друг Мейнард Кейнз как-то сказал, что если бы Харди каждый день полчаса читал биржевые отчёты с таким же вниманием, с каким он подсчитывал очки в отчётах о крикетной игре, то он непременно стал бы богатым человеком. 

Придя к себе на квартиру в Тринити-колледж, он ещё раз просмотрел рукопись. Затем он известил Литлвуда, что после обеда им нужно переговорить.

После их изучения он приходит к выводу: «В распоряжении Рамануджана должны быть какие-то очень общие теоремы, которые он от меня скрывает». Но особо удивили Харди соотношения с бесконечными цепными дробями:

«Эти соотношения поставили меня полностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточно бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли быть написаны только математиком самого высшего класса».

Позднее Харди решил, что Рамануджан - прирождённый математический гений, равный Гауссу и Эйлеру, но из-за отсутствия у него образования, а также потому, что его появление в истории математики слишком запоздало, трудно было ожидать, чтобы он сделал научный вклад такого же крупного масштаба. Казалось бы, весьма нетрудно распознать то, что увидели Харди и Литлвуд. Однако следует упомянуть о двух учёных, которые в данном случае оказались слепы.

По своему благородству Харди умолчал об этом, но этих людей уже нет на свете, и пора сказать истину. Она проста. Харди не был первым из выдающихся учёных, которому была послана рукопись Рамануджана. До него она побывала у двух крупных английских математиков, и оба они вернули её, не сказав ни слова. Думаю, что для истории неважно, какова была их реакция (если она вообще была), когда к Рамануджану пришли заслуженная известность и слава.

На следующий день Харди начал действовать. Он решил, что Рамануджан должен приехать в Англию. Материальная сторона дела не была в данном случае главной проблемой. Тринити-колледж всегда стремился поддержать редкие таланты (спустя несколько лет это же было сделано и для Капицы). А кроме того, раз Харди так решил, то никакая человеческая сила не могла воспрепятствовать этому, а вот помощь силы сверхчеловеческой им бы не помешала.

Рамануджан оказался бедным клерком из Мадраса, вместе с женой он жил на двадцать фунтов стерлингов в год. Он был к тому же брамином, чрезвычайно строго соблюдавшим все религиозные обряды, а его мать была ещё более фанатичной, чем он. 

Как же сложился математик, который так удивил Харди? Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 декабря 1887 г. на юге Индии в селении Эрод. Его детство в основном протекало в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадраса), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке. 

Его родители, а мать особенно, как уже ранее было сказано, были глубоко религиозны. Рамануджан получил воспитание в традициях касты. Детство, проведенное в городе, где каждый камень связан с древней религией, в окружении людей, постоянно ощущающих свою принадлежность к высшей касте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана.

С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает начальную школу. Он начинает проявлять незаурядные способности, получает стипендию, обеспечивающую обучение в средней школе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса дает ему двухтомное руководство по тригонометрии Лони. Вскоре Рамануджан изучил тригонометрию, и студент имел возможность пользоваться его консультацией в решении задач. К этому периоду относятся первые рассказы и легенды.

Утверждается, что он сам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинусе» и был очень расстроен, найдя эту формулу во втором томе Лони. «Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в других науках, следует искать присущую ей «высшую истину», расспрашивает учителей. Старшие дают маловразумительные ссылки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами.

Двухтомное руководство английского математика Карра «Синопсис элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное в 1880,  попало к Рамануджану в 1903 г. ему было тогда 16 лет. Эта книга сыграла огромную роль в формировании Рамануджана.

В ней было собрано 6165 теорем и формул, почти без доказательств, с минимальными пояснениями. В основном книга посвящена алгебре, тригонометрии, анализу, аналитической геометрии. Книга Карра стимулировала мальчика к самостоятельному выводу формул. Об этом говорят те, кто знал Рамануджана в эти годы. Постепенно меняется область его основных интересов: магические квадраты, потом квадратура круга (он находит π с точностью, позволяющей вычислить длину экватора с ошибкой, не превышающей 1-2 м, гласит легенда) и, наконец, наступает очередь бесконечных рядов.

Это уже начало подлинной математической жизни! Книга Карра оказалась достаточно удачной для того, чтобы сформировать математический мир Рамануджана. Но ориентация на эту книгу имела и другие последствия.

Поскольку книга не содержала доказательств, а в лучшем случае − наводящие соображения, у Рамануджана складывается своеобразный метод установления математической истины.

К тому же он лишен в Индии подходящих руководств для того, чтобы проводить строгие доказательства. «Его понимание сущности математического доказательства было более чем туманным; он пришел ко всем своим результатам, как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным, при помощи странной смеси интуитивных догадок, индуктивных соображений и логических рассуждений».

Математическая судьба Рамануджана фактически полностью решилась в эти годы: направление научных поисков, способ думать он уже никогда не менял.

Здесь можно выразить сожаление, что Рамануджан формировался в тяжелых условиях. В нормальных условиях он, несомненно, стал бы математиком с лучшей профессиональной подготовкой, но можно ли быть уверенным, что он был бы столь же уникален? Смог бы Рамануджан увидеть так много, если бы с детства был обучен правилам поведения в математике и доводил бы свои результаты до публикаций со строгими доказательствами, строил бы свой математический мир на базе всего достигнутого человечеством, а не на сравнительно небольшом числе фактов?

В 1904 г. Рамануджан поступает в Мадрасский университет, делает первые успехи не только в математике, но и в английском языке.

Однако математика начинает занимать его целиком, и это не замедлило сказаться.

Он не кончает даже первого курса, странствует с другом, делает попытку вернуться в университет, а затем закончить его экстерном (1907 г.).

В 1909 г. он женится; его жене девять лет, и она доживет до наших дней, трогательно сохраняя память о великом супруге. Рамануджан вынужден думать о средствах на жизнь, но он не может найти подходящего занятия.

В 1910 г. он показывает свои математические результаты Рамасвари Айару, основателю Индийского математического общества, затем Сешу Айару, преподавателю Кумбаконамского колледжа, и Рамачандра Рао, крупному чиновнику, получившему математическое образование; позднее они стали биографами Рамануджана.

Рао помогает ему из своих средств, а затем устраивает клерком в почтовое управление. В 1911 г. появляется в печати сообщение Сешу Айара о результатах Рамануджана, а затем и его собственная статья.

В судьбе Рамануджана начинают принимать участие влиятельные английские чиновники; с 1 мая 1913 г. на два года он обеспечен специальной стипендией в 75 рупий (5 фунтов) в месяц. Этого хватает на скромную жизнь, и Рамануджан оставляет карьеру клерка.

Он становится «профессиональным математиком».

Для Харди не было сомнений: для Рамануджана необходимы контакты с настоящими математиками. Обеспечить в Индии это невозможно, и ему необходимо срочно перебраться в Англию. Удалось договориться о стипендии в Кембридже. Однако предстояло убедить в необходимости поездки самого Рамануджана, которого нынешнее положение вполне устраивало.

К тому же против поездки категорически возражала мать, согласие которой было для сына обязательным. Друзья пытаются сформировать общественное мнение, активно действует кембриджский математик Невил, в начале 1914 г. посетивший Мадрас.

Он обращается к ректору университета за поддержкой, но безуспешно. То, что было не под силу ученым, легко осилила богиня Намаккаль (согласно легенде, из ее уст во сне Рамануджан узнавал новые формулы).

Мать увидела во сне сына, сидящего в большом зале в окружении европейцев, и богиня повелела не противиться отъезду.

17 марта 1914 г. Рамануджан отбыл в Англию. Он будет два года получать стипендию по 250 фунтов стерлингов в год. Из них 50 фунтов будет получать мать. По приезде вскоре стипендия была еще увеличена на 60 фунтов.

Насколько Харди мог заметить, несмотря на трудности преодоления религиозных табу, Рамануджан в действительности, за исключением туманного пантеизма, оказался не более верующим, чем сам Харди. Харди не забывал, что перед ним гений, но гений почти без всякого образования, даже математического. Рамануджан не мог поступить в Мадрасский университет, потому что не сдал бы экзамена по английскому языку.

По словам Харди, он всегда был милым, добродушным, но они с большим трудом понимали друг друга, когда их разговор выходил за пределы математики. Рамануджан обычно слушал его внимательно, с терпеливой улыбкой на добром и милом лице.

Но и в математике на их взаимопонимании сказывалось различие в образовании. Рамануджан был самоучка и не имел никакого представления о точности современного научного вывода; в известном смысле он вообще не понимал, каким должно быть научное доказательство.
В какую-то сентиментальную минуту Харди однажды заметил, что если бы Рамануджан имел образование, то он не был бы самим собой. Но стоило вмешаться его критическому уму, как он тут же поправил себя, признав, что сказал чушь.

Если бы Рамануджан получил надлежащее образование, то он, конечно, стал бы ещё более удивительным человеком. Харди пришлось обучать его основным положениям математики, словно Рамануджан был кандидатом на стипендию в винчестерской школе.
Это был совершенно необычный опыт, рассказывал Харди, так как современная математика воспринималась в данном случае таким человеком, который обладал глубочайшей математической интуицией, но буквально никогда не слышал о большинстве математических положений.

Как бы то ни было, они вместе создали пять работ огромного научного значения, в которых и Харди проявил свою блестящую оригинальность. 

Работает Рамануджан очень интенсивно и плодотворно. У него много общих интересов с Харди.

Фантастическая интуиция Рамануджана, объединившись с рафинированной техникой Харди, дает замечательные плоды. К Рамануджану приходит признание: в 1918 г. он становится профессором университета в Кембридже; его выбирают в Королевское общество (английскую академию наук). Никогда прежде индус не удостаивался таких почестей. Жилось Рамануджану непросто. Он строго следовал всем религиозным ограничениям, как и обещал родителям. В частности, он был вегетарианцем и был вынужден готовить себе сам.

Он отказывался нарушать правила, даже когда тяжело заболел в 1917 г.

Вероятно, нерегулярность в питании ускорила болезнь (так считал и сам Рамануджан, как вспоминала его вдова). Оставшиеся два года в Англии Рамануджан провел в больницах и санаториях, вынужденный ослабить интенсивность занятий математикой. Непросто было вписаться Рамануджану в кембриджскую жизнь, полную чуждых условностей и традиций. Природная вежливость, стремление не быть источником для дискомфорта окружающим, так присущие индийской культуре, помогали Рамануджану по крайней мере внешне приспособиться к университетской жизни. 

Харди часто навещал тяжело больного, умирающего Рамануджана, когда тот лежал в больнице в Патни.

В формировании математического мира Рамануджана было важно, что начальный запас математических фактов (в основном почерпнутый из книги Карра) объединился у него с огромным запасом наблюдений над конкретными числами.

Он коллекционировал такие факты с детства. Его школьный товарищ вспоминал, что Рамануджан знал огромное число знаков в разложениях e, π и других чисел в десятичные дроби.

Он обладал поразительными способностями подмечать арифметические закономерности, терпеливо рассматривая огромный числовой материал − искусство, которым виртуозно владели Эйлер и Гаусс, но которое было в значительной степени утрачено к XX веку. Многое в числовой кладовой открывалось при случайных обстоятельствах. Харди позднее вспоминал, как он навестил в больнице Рамануджана и сказал, что он приехал на такси со «скучным» номером 1729.

Рамануджан разволновался и воскликнул: «Харди, ну как же, Харди, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!» (1729 =13+123=93+103).

В книге Харди о творчестве Рамануджана метко сказано, что «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана».

Заболев, Рамануджан начинает думать о возвращении на родину. Лишь к началу 1919 г. его здоровье улучшилось настолько, чтобы совершить далекую поездку по морю. Ему было готово место в Мадрасском университете: слава его достигла Индии. Рамануджан пишет ректору благодарственное письмо, извиняется за то, что последнее время болезнь не давала возможности работать достаточно интенсивно.

Но он так и не смог приступить к работе в университете. Жить на родине (и вообще жить) ему оставалось менее года. После трех месяцев в Мадрасе Рамануджан перебрался в Кумбаконам.

В январе 1920 г. он посылает последнее письмо Харди, где сообщает о работе над новым классом тэта-функций. Ни врачи, ни родные не могут уговорить смертельно больного ученого прервать работу. 26 апреля 1920 г. Рамануджан умер. Ему еще не исполнилось 33 года.

Харди пишет: «Возможно, что великие дни формул окончились и Рамануджану следовало бы родиться на 100 лет раньше; но он был величайшим создателем формул своего времени. Галуа умер в двадцать один год, Нильс Абель-двадцати семи лет, Рамануджан - тридцати трёх, Риман - в сорок... Я не знаю никого, кто был бы после пятидесяти лет крупным математиком"